Ma i matematici hanno sempre dato le regole dell’arte:

I-----------------------------I----------------------I                     AB : AC = AC : CB

A                                         C                                B

 

Cioè X + 1 : X = X : 1

X²  - X – 1 =0

f (omaggio allo scultore Fidia) = 1+√ 5    = 1,6180339887

                                                                              2

 

Viene detta proporzione divina, che richiama alcune implicazioni teologiche e filosofiche: ad esempio l’unicità del suo valore richiamerebbe sempre il concetto stesso di Dio; il fatto di coinvolgere tre grandezze richiamerebbe il concetto di Trinità: come Dio è immutabile ed è tutto in ogni parte, così questa proporzione non varia, nel senso che il suo valore non dipende dalla lunghezza della linea da dividere…vi è anche l’impossibilità di definirla usando numeri razionali.

Persino il rettangolo aureo (con il lato maggiore e minore uguale a f ) viene tirato in ballo per il Partenone, che è stato realizzato attorno al 450 a.C., cioè prima delle invenzioni Euclidee. Paola non è interessata a questo discorso perché guarda al Partenone come un’opera d’arte e freme di ammirazione: che poi la sua altezza e larghezza corrispondono a un rettangolo aureo (ma siamo sicuri che sia così?) non l’affascina più di tanto. Il problema è sapere se questi rapporti siano stati usati coscientemente. “L’arte e l’architettura in particolare non possono fare a meno dell’uso della proporzione e persino sarti, calzolai, muratori, fabbri usano la geometria, in quanto tutto consiste nel numero, peso e misura.”[3]

Mnesikles

Partenone

Acropoli di Atene / Acropolis in Athens

(la sezione aurea / the golden mean)

Atene / Athens

(437-433 a.C.)

Ma la proporzione divina è un’altra cosa: certo il Cristo al Cenacolo può essere racchiuso in un rettangolo aureo così come la Crocefissione di Antonello, perché non c’è dubbio che essa corrisponde alla bellezza di forme naturali e produca una sensazione d’armonia.

E Fibonacci, il più grande matematico del Medioevo, ha inventato una successione numerica particolare (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377…), che arriva al numero aureo (6765; 1,618). In verità, è solo il rapporto tra due numeri consecutivi che approssima sempre meglio il rapporto aureo mentre si percorrere verso l'infinito. Questa è una proprietà abbastanza sorprendente della successione di Fibonacci, che è definita dalla relazione ricorsiva

F(n)=F(n-1)+F(n-2), per n naturale, con le condizioni iniziali F(1)=F(2)=1

Cioè, partendo con 1 ai primi due posti, tutti gli altri numeri si ottengono sommando i due numeri immediatamente precedenti.

Poi ci sono i rettangoli aurei e la spirale logaritmica che si ritrova, care signore, nell’abbazia di Melk (XI secolo). Quando la dottoressa, passando dalla Piramide Cestia, ricorda che il rapporto aureo non poteva essere sconosciuto agli Egizi, non mi rimane che          ricordare la Piramide di Cheope, con lato di base di 232 metri e l’altezza della facciata laterale pari a 187 metri, con due milioni e mezzo di blocchi di pietra, poggianti su un piano perfettamente orizzontale con una differenza di 12 mm. Questa meraviglia artistica è basata su rapporti matematici di tutta evidenza, ma non sulla sezione aurea, che non ci sono prove fosse conosciuta e praticata dagli antichi Egizi.

La regola matematica e l’arte si incontrano sempre.   

Apollodoro di Damasco

Pantheon

(la sezione aurea / the golden mean)

Roma / Rome

(120-124 d.C.)

Arrivando al Pantheon sono sicuro di avere trovato l’elemento della divina Proporzione, che ha la base armonica direttiva costruita da un quadrato diviso secondo il rapporto  f  e un cerchio iscritto in esso: ”la distanza tra il cerchio inscritto e quello esterno è data dalla piccola f trovata sulla minore f dell’intero lato del quadrato; tutto il resto è regolato secondo lo stesso rapporto.”

Mentre rifletto su questa spiegazione, mi sono accorto di essere rimasto solo, allora, dopo una breve telefonata, me ne vado in albergo per concludere queste riflessioni.

Certo, tra gli edifici contemporanei, viene subito in mente il Modulor applicato da Le Corbusier per la sua architettura, per esempio a Villa  Stein. La sezione aurea è riferita all’altezza dell’uomo (1,82) e col braccio levato (2,26), per poi costruire una serie di geometrie, quadrati e rettangoli, da applicare in architettura e urbanistica.

Apollodoro di Damasco 

Pantheon

pianta dell’interno / floor plan

(la sezione aurea / the golden mean)

Roma / Rome

(120-124 d.C.)

 “La sezione aurea è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.” ( S. Groeman, 1969)

Come detto, che il numero e le proporzioni siano alla base dei lavori artistici, non può essere smentito: quello che invece appare incerto è l’uso consapevole della sezione aurea, che può essere confusa con l’applicazione di semplici proporzioni, per esempio lo storico rapporto 5/8 che da’ un valore vicino al numero divino.

A questo proposito Mc Whinnie ha sviluppato la teoria della simmetria dinamica, che usa determinati rettangoli di base radicati sulla regola euclidea della diagonale del quadrato.

“Dynamic symmetry has been used in at least three ways in the visual arts: as an underlying means of visual composition; as a method of pure abstraction; and as a mode of cubistic abstraction with figurative images…Italian artist Mario Merz used the methods of the Golden Section as a direct basis for his work in a variety of mediums. In 1976 he designed an architectural design project called “Casa Fibonacci”, using as scales of proportions the Fibonacci number sequences which have been closely related to dynamic symmetry…..While the Golden Section is only one aspect of dynamic symmetry, the qualities of works of art achieved by these methods vary widely. Some artists employ golden rectangles directly as abstract forms in their works, while other use them as compositional bases for more figurative pieces…”[4]

Si può basare il numero aureo sulla costruzione dei frattali, cioè quelle figure geometriche adatte a esprimere la complessità delle forme naturali, che non possono essere descritte dalle tradizionali sfere, coni, poligoni regolari: nuove forme irregolari si ripetono a diverse scale, proprio a partire da un triangolo aureo.

“È infatti ormai generalmente riconosciuto che le immagini di oggetti frattali suscitano in generale una sensazione di piacere estetico. Si può infatti mostrare come spesso la mente umana esprima una certa preferenza estetica per le immagini frattali, indipendente dal fatto che tali immagini vengano generate da processi naturali o tramite procedimenti matematici.”[5]

Pensavo al Quirinale e agli altri colli disegnati con il sistema frattale e mi veniva facile arrivare a un risultato.                                                                                                              

Forse Pitagora, che inventò una scala musicale, ha suggerito il rapporto aureo e l’incommensurabilità numerica. “Per quanto ci riguarda, ci sentiamo di giudicare altamente improbabile che i babilonesi e gli egizi conoscessero il rapporto aureo e le sue proprietà; l’onore di questa scoperta fu lasciato ai matematici greci … (ma) anche la mirabile corolla della rosa è collegata al rapporto aureo. Togliendo uno per volta i petali, strettamente accostati, si può ricostruire la sua struttura … Gli angoli che definiscono le posizioni dei petali (in frazione di angolo giro) sono la parte decimale di semplici multipli di f”.[6]

E allora? Dove sono andato a finire? Non voglio accettare forzature e inganni, né condividere però quello che il protagonista de La caverna afferma: “(…) era uno sproposito, una fesseria preoccuparsi di qualcosa che non ha esistenza nella realtà (perché) i numeri non esistono nella realtà, allo cose è indifferente quale numero gli diano, tant’é se diciamo che sono il tredici o sono il quarantaquattro il minimo che se ne può concludere è che le cose, loro, non hanno nozione del posto che gli è capitato.”[7]

Alle cose non interessa, ma a noi sì.

Quello che Piero, Leonardo e Dürer, hanno prodotto è certamente consentito da contributi matematici, anche dal rapporto aureo: ed è altrettanto vero che Gino Severini ha usato il rapporto aureo al contrario di Mondrian. Ma ci coinvolge così tanto la divina proporzione? Una volta provato il rapporto tra matematica e arte, ne sappiamo abbastanza. I numeri e le proporzioni sono alla base di tutte le manifestazioni artistiche e anche del pensiero filosofico.

Almeno della Logica, e chiamano “in causa il motivo o il tema, quasi in senso musicale, del tempo. Il gusto del costruire, nel senso di Valery, ha una naturale connessione con lo spazio. Con il misurare, con il separare, con il tracciare, con l’ordinare…Ma anche la dimensione temporale ha una sua salienza nel fare architettura… E la dimensione temporale chiama naturalmente in causa la questione dell’incompletezza.”[8]

Incompletezza, mi viene in mente il Prigione di Michelangelo, ma mi ricordo anche del numero divino, come ripercorro il legame tra spazio e tempo nella storia della scienza.

Abbiamo però ormai delle certezze: è ora di cena, mi stanno aspettando da “Fortunato” dove ho prenotato. Vicino al Pantheon, irresistibile espressione della sezione aurea.

 

Prof. Angelo Bugatti

Tongji University Shanghai